Foundations of Optimal Transport Theory

L’obiettivo di questa tesi è presentare i fondamentali della teoria del trasporto ottimo con costo quadratico, coprendo tutte le formulazioni statiche. L’elaborato comincia discutendo le criticità del problema di Monge che lo resero così difficile da affrontare e perché il rilassamento del problema introdotto da Kantorovich risulta più semplice da trattare. In seguito viene studiato il problema duale, che una volta risolto fornisce una dimostrazione elegante e immediata del Teorema di Brenier, la cui tesi garantisce esistenza e unicità della soluzione del problema di Monge oltre che fornirci informazioni sulla sua forma. Per comprendere più a fondo le nozioni introdotte, viene poi data attenzione aggiuntiva al caso monodimensionale, dove si possono dedurre risultati più forti e si possono costruire esplicitamente le soluzioni del problema di Monge e di quello di Kantorovich. Le considerazioni fatte sulla retta reale vengono infine usate per la creazione della mappa di Knothe, che sarà lo strumento principale usato per mostrare un’applicazione classica della teoria: la disuguaglianza isoperimetrica per insiemi regolari con completa caratterizzazione del caso di uguaglianza.