L'Assioma di Completezza di Dedekind

Il presente lavoro si propone di generalizzare le proprietà solitamente approfondite nel contesto dei numeri reali, analizzandone la validità all'interno di un generico Campo Totalmente Ordinato. Seguendo questo filo conduttore si vuole esplorare l'assioma di completezza di Dedekind non come una definizione isolata, ma come il nucleo di una fitta rete di proprietà logiche, tra cui il teorema di Bolzano-Weierstrass, il criterio di Cauchy e la proprietà degli intervalli annidati. L'obiettivo centrale è discutere quali formulazioni della completezza sia lecito integrare agli assiomi di campo totalmente ordinato affinché un qualsiasi campo ordinato sia anche completo, riservando un'attenzione particolare alla proprietà archimedea nel suo ruolo di "collante logico". Successivamente, viene introdotto il campo delle funzioni razionali in una variabile come esempio di campo non archimedeo. L'analisi di questo modello permette di comprendere le conseguenze della violazione della proprietà archimedea, tra cui il fallimento della completezza di Dedekind. Nonostante ciò lo studio di tale campo rivela scenari di interesse teorico legati all'esistenza di elementi infinitesimali e infinitamente grandi. Infine, sfruttando l'esistenza dell'estremo superiore garantita dall'Assioma di Dedekind, si dimostra che la struttura di campo ordinato completo è unica a meno di isomorfismi. Tale risultato evidenzia come la completezza di Dedekind costituisca il requisito minimo, ma allo stesso tempo sufficiente, per garantire l’unicità dell’intero sistema dei numeri reali.