Semicontinuità ed esistenza del minimo per funzionali integrali

Questa tesi si propone di fornire un'introduzione ai metodi diretti nel calcolo delle variazioni. Nel dettaglio, vengono introdotti gli spazi di Sobolev, con particolare attenzione ai principali risultati di immersione e di compattezza, tra cui il teorema di Rellich. Successivamente, si introduce la nozione di inferiore semicontinuità, analizzandone le condizioni necessarie per diverse classi funzionali integrali convessi. Infine viene introdotta la nozione di coercività al fine di garantire l'esistenza di un minimo per il funzionale integrale e di presentare condizioni necessarie per la risoluzione del problema di Dirichlet.