Teorema di fermata opzionale di Doob: uno studio sulla rovina del giocatore e sulle strategie di scommesse

Una martingala è un tipo speciale di processo stocastico che si è iniziato a studiare a metà del XX secolo. Le sue proprietà sono fondamentali in campi come l'economia, ma originariamente i giocatori europei del XVI secolo usavano questo termine per raggruppare tutte le strategie che attuavano sperando di avere un vantaggio contro il banco. Ma queste strategie funzionavano davvero? In questa tesi esamineremo il concetto di martingala reale discreta, in seguito defineremo strumenti come i tempi d'arresto e i processi fermati. Mostreremo infine il "Teorema di fermata opzionale di Doob" e vedremo le sue conseguenze. Infine, con le conoscenze apprese, studieremo il problema del giocatore in rovina e mostreremo come in un gioco equo le strategie chiamate "martingale" non sono efficaci. Concluderemo la tesi sfruttando il metodo Montecarlo e simuleremo centinaia di migliaia di giocate per vedere un riscontro empirico di quello che abbiamo mostrato.