Approssimazione di zeri, sistemi dinamici discreti e frattali.

Il presente lavoro di tesi analizza le proprietà analitiche e dinamiche di due tra i principali algoritmi iterativi per la ricerca degli zeri di funzioni: il metodo di Newton e il metodo di Halley. L'indagine si sviluppa lungo un percorso che coniuga la teoria classica del calcolo numerico con lo studio dei sistemi dinamici discreti e della geometria frattale. Nella prima parte, viene approfondito il metodo di Newton, esaminandone la derivazione geometrica basata sull'approssimazione lineare (tangente) e dimostrando la sua convergenza quadratica in ambito locale. L'analisi si estende poi al piano complesso, dove l'algoritmo rivela una natura dinamica ricca e complessa. Attraverso l'implementazione in ambiente MATLAB, vengono visualizzati i bacini di attrazione delle radici, evidenziando come le frontiere che li separano assumano spesso una struttura frattale, nota come Insieme di Julia. Successivamente, viene introdotto il metodo di Halley, presentato come un'estensione di ordine superiore del metodo di Newton. Attraverso l'interpretazione geometrica basata su iperboli osculatrici, viene dimostrata la sua convergenza cubica, che garantisce un abbattimento più rapido dell'errore rispetto al metodo di Newton. L'ultima parte della tesi è dedicata a un'analisi comparativa tra i due metodi. Sebbene il metodo di Halley risulti localmente più efficiente, lo studio evidenzia una sua maggiore sensibilità globale alle condizioni iniziali e una diversa morfologia dei frattali generati. La visualizzazione dei bacini di attrazione emerge non solo come un elemento estetico, ma come uno strumento fondamentale per mappare i limiti operativi degli algoritmi e guidare una scelta consapevole del punto iniziale.