Approssimazione di funzioni: un confronto tra metodi classici e metodi basati sul machine learning

La teoria dell’approssimazione di funzioni rappresenta un pilastro fondamentale dell’analisi numerica, essenziale per la semplificazione di problemi complessi e per la risoluzione di modelli reali in svariate discipline scientifiche. Il presente lavoro di tesi si propone di analizzare e confrontare l’efficacia dei metodi classici rispetto alle architetture basate sul machine learning. Lo studio parte da un confronto teorico tra i risultati classici, quale il Teorema di Weierstrass, e i moderni Teoremi di Approssimazione Universale (1989). Tale analisi evidenzia come il limite intrinseco dei metodi tradizionali venga superato dalla natura data-driven delle reti neurali. Nella fase sperimentale sono state valutate le performance di diverse tecniche: l’interpolazione polinomiale, il metodo dei minimi quadrati e le reti neurali feed-forward. Il confronto è stato condotto su tre casi studio:la funzione di Runge, il valore assoluto e la funzione di Franke. I risultati sperimentali confermano la superiorità delle reti neurali nel catturare gradienti complessi e nel distribuire l’errore in modo omogeneo sull'intero dominio, mitigando fenomeni di instabilità. In conclusione, lo studio dimostra che, nonostante il maggiore onere computazionale, i modelli di machine learning rappresentano uno strumento di approssimazione estremamente robusto e flessibile per la modellazione di sistemi complessi.