Il Teorema della funzione implicita con applicazioni alla teoria delle biforcazioni

Questa tesi è incentrata sui teoremi che permettono, localmente, il passaggio dalla forma implicita alla forma esplicita sotto determinate condizioni di regolarità e sugli scenari di biforcazione che si aprono quando queste condizioni, invece, non sono soddisfatte per una famiglia di equazioni differenziali dipendente da un parametro. Il primo capitolo è dedicato principalmente a enunciati e dimostrazioni del Teorema della funzione implicita e del Teorema di Dini. Nel secondo viene introdotta la teoria delle biforcazioni e sono fornite nozioni fondamentali, inerenti soprattutto la stabilità dei punti di equilibrio di sistemi di equazioni differenziali. L'ultimo capitolo presenta alcuni risultati ottenuti ricorrendo al Teorema di Dini - come il Teorema di saddle-node bifurcation - e diversi esempi di biforcazione, tra cui la biforcazione sella-colle, in cui si creano nuovi punti di equilibrio, e la biforcazione di Hopf, caratterizzata invece dalla nascita di una soluzione periodica; è inoltre presente un'applicazione in ambito biologico con la trattazione del modello theta-neuron.