Il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace

Il presente lavoro di tesi analizza il Problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace tracciandone il percorso evolutivo dai metodi integrali classici alla teoria moderna di Perron. Il problema, centrale nella teoria del potenziale, consiste nel determinare una funzione armonica in un aperto limitato dello spazio euclideo che assuma con continuità un dato assegnato sulla frontiera. Nella prima parte della trattazione vengono esaminate le proprietà fondamentali delle funzioni armoniche, quali la proprietà di media e il principio del massimo. Tali strumenti consentono di ricavare la formula di rappresentazione di Green e di risolvere esplicitamente il problema nel caso elementare della palla euclidea mediante il nucleo di Poisson. Viene successivamente affrontata la crisi del modello classico, evidenziata dalla costruzione di domini la cui geometria della frontiera impedisce l'esistenza di una soluzione classica. L'ultima parte è dedicata al metodo di Perron, un approccio basato sull'inviluppo superiore e inferiore di funzioni subarmoniche e superarmoniche. Viene dimostrato il Teorema di Perron-Wiener, il quale stabilisce che ogni dato continuo è risolutivo, garantendo l'esistenza di una funzione armonica interna al dominio. Il lavoro si conclude con il Teorema di Bouligand, che riduce la condizione di regolarità dei punti di frontiera all'esistenza di funzioni ausiliarie denominate barriere, fornendo un criterio per la risolubilità del problema in senso classico.