Il ruolo di un super predatore sui modelli matematici di Lotka-Volterra: diffusione, chemotassi, instabilità di Turing e effetti di memoria

In questa tesi presentiamo una rassegna di possibili generalizzazioni del modello preda-predatore di Lotka-Volterra per descrivere le dinamiche di due specie che vivono in uno stesso ecosistema. Il nostro studio parte dal modello pioneristico di Lotka-Volterra a cui aggiungiamo, oltre ad un controllo logistico sia per le prede che per il predatore, l'effetto di un fattore esterno, da noi chiamato "effetto pesca". In seguito, ci siamo concentrati sul ruolo cruciale della presenza di un super predatore, discutendo così un modello matematico a tre specie interagenti. Con una dettagliata analisi della stabilità lineare degli stati di equilibrio, mettiamo a confronto i modelli proposti, descritti da sistemi dinamici non lineari. Successivamente abbiamo considerato questi modelli in presenza di diffusione spaziale, anche incrociata, mettendo così in evidenza la possibilità dell'insorgenza delle instabilità di Turing. Da ultimo, per onorare Volterra, ci siamo interessati ai fenomeni dell'ereditarietà, introducendo nuovi effetti di memoria non locali sia per i sistemi dinamici che per quelli diffusivi. Sulla base dello studio degli effetti non locali, abbiamo proposto nuovi modelli preda-predatore (e super predatore) con effetti di memoria sia nel termine di crescita sia nel termine di interazione, mettendo in evidenza la loro applicabilità ai diversi ambiti di ricerca.