Gli assiomi di Antifondazione nella teoria degli insiemi

In questa tesi si presenta e si esamina la teoria degli insiemi con l'introduzione dell'Assioma di Antifondazione. Inizialmente si illustrerà il passaggio dalla teoria degli insiemi ben fondati (ZFC) a quella degli insiemi non ben fondati o iperinsiemi (ZFA). Si costruirà la teoria ZFC introducendo i vari assiomi, analizzando in particolare l'assioma fondazione e descrivendo nuovi oggetti matematici, gli atomi. Si focalizzerà l'attenzione sull'interpretazione di un insieme come grafo, sul concetto di decorazione e sull'importante risultato derivato dal Lemma del Collasso. Si esporrà, quindi, la versione dell'assioma di Antifondazione di Aczel del 1988, AFA, e quella relativa ai grafi etichettati, LAFA. A questo punto, attraverso la spiegazione e l'utilizzo del concetto di bisimulazione, sarà possibile mostrare una versione alternativa di AFA, il Lemma di Soluzione, e analizzare il legame tra decorazioni di grafi e sistemi di equazioni. Verrà poi costruito un modello della teoria ZFC^- attraverso il quale sarà possibile esaminare la consistenza di ZFC e ZFA. Infine si mostreranno delle formulazioni alternative dell'assioma di Antifondazione, AFA, come la versione di Finsler, di Scott e di Boffa.