An introduction to MacDowell-Mansouri gravity

Le teorie di gauge per le interazioni fondamentali presuppongono che esistano una, o più, tipologie di campi mediatori associati all’interazione elettromagnetica, forte e debole. Ad ogni campo mediatore è associata una particella bosonica, che dal punto di vista geometrico è rappresentata da una connessione 1-forma su un fibrato principale con gruppo di struttura detto gruppo di gauge. La materia, invece, è costituita da campi fermionici che sono rappresentati matematicamente da sezioni di un fibrato vettoriale associato a tale fibrato principale attraverso la rappresentazione dell'algebra di Lie del gruppo di gauge, perciò, in questo senso, possono interagire con il corrispondente bosone di gauge. Questa tesi si concentra sul primo di questi due aspetti fornendo un'introduzione al formalismo di MacDowell-Mansouri, una possibile teoria di gauge per la gravità con connessioni di Cartan al posto di generiche connessioni su fibrati principali. Nei primi due capitoli vengono riportate le conoscenze basilari di topologia differenziale e di teoria dei gruppi di Lie. Serviranno a comprendere le basi della teoria dei fibrati principali, ossia l’argomento cardine del terzo capitolo, insieme alle teorie di gauge topologiche. Gli ultimi due capitoli trattano gli aspetti a noi più utili delle geometrie di Klein e di Cartan e l’interpretazione fisica della teoria di MacDowell-Mansouri. In questo contesto le connessioni di Cartan descrivono l’interazione gravitazionale e il principio variazionale giustifica il siginficato fisico di questa teoria, infatti le equazioni del moto restituiscono l’equazione di campo di Einstein nel formalismo di Palatini.