Dal Modello di Black&Scholes ai Modelli a volatilità stocastica

Le opzioni finanziarie sono strumenti finanziari derivati che hanno conosciuto, negli ultimi decenni, una rapida diffusione e vengono utilizzate prevalentemente sia come copertura rispetto varie forme di rischio che a fini speculativi. Parte dell’iniziale successo e della successiva diffusione di tali strumenti è legata alla presenza di un modello di valutazione sviluppato da Black e Scholes nel 1973 ed esteso in varie direzioni da Merton nello stesso anno. Nello studio del prezzaggio di opzioni è di fondamentale importanza lo studio di Black e Scholes, in quanto essi, sulla base di determinate “condizioni ideali”, riuscirono a derivare un’espressione per determinare il prezzo di un’opzione call Europea su di un’azione. Tuttavia, la formula derivata da Black e Scholes si basa su numerose ipotesi che, nella realtà, raramente sono soddisfatte. La violazione di tutte o di alcune delle ipotesi alla base del modello di Black e Scholes porta, inevitabilmente, a commettere sistematici errori rispetto ai prezzi di mercato. La necessità di rendere sempre più accurate le stime dei prezzi delle opzioni ha indotto gli operatori finanziari a sviluppare alcune tecniche in grado di sopperire alle inadeguatezze del modello di Black e Scholes. Infatti, nel corso degli ultimi decenni, in letteratura sono comparsi un gran numero di modelli per la determinazione dei prezzi delle opzioni che considerano la volatilità variabile nel tempo. Una classe di modelli importante e più recente è quella che considera il caso di una “volatilità stocastica”. Essa infatti, come mostrato nella tesi, da un lato consente un notevole miglioramento delle stime dei prezzi reali delle opzioni e dall’altro riproduce in modo naturale i famosi sorrisi di volatilità.