Superfici razionali e modelli anticanonici per superfici di Del Pezzo

La tesi tratta la classificazione e lo studio delle superfici con dimensione di Kodaira meno infinito. Nel primo capitolo inizieremo introducendo strumenti alla base di tutta la geometria algebrica, quali divisori di Weil, fibrati lineari e fasci, studieremo i legami tra questi e ne esporremo importanti proprietà. Introdurremo anche la coomologia dei fasci, un importante strumento che utilizzeremo in tutto il corso della tesi. Nel secondo capitolo inizieremo studiando la geometria birazionale delle superfici. Partiremo parlando di scoppiamenti con l’obiettivo di caratterizzare i morfismi birazionali in termini di composizione di questi ultimi e isomorfismi. Introdurremo poi il concetto di modello minimale che, in un certo senso, permette di trovare la (o le) superficie più semplice tra le classi di superfici birazionali ad una fissata. Tramite il teorema di Castelnuovo riusciremo a trovare un modo esplicito per determinare modelli minimali di superfici. Nel terzo e quarto capitolo introdurremo la dimensione di Kodaira come invariante birazionale e classificheremo le superfici con dimensione di Kodaira meno infinito. In particolare divideremo queste in due classi più semplici da studiare, ossia superfici rigate e razionali. Nell’ultimo capitolo ci occuperemo di fornire esplicitamente equazioni di alcune superfici di Del Pezzo, descritte birazionalmente come scoppiamento del piano proiettivo in al più 8 punti in posizione generale.