Introduzione alle superfici con dimensione di Kodaira zero e superfici K3

L'obiettivo principale di questa tesi è studiare una particolare famiglia di superfici algebriche di grande interesse geometrico: le superfici K3. In termini tecnici, si tratta di superfici semplicemente connesse con divisore canonico banale. Nel primo capitolo introdurremo alcuni strumenti classici della geometria algebrica e, più in generale, della geometria complessa: fasci, fibrati e divisori. Nel secondo capitolo inizieremo a focalizzarci sulle superfici, e ci porremo il problema di capire in quale modo si intersechino le curve che vivono su una data superficie. Definiremo quindi il prodotto di intersezione e proveremo che è una forma bilineare simmetrica ben definita sul gruppo di Picard di una superficie. Nel terzo capitolo ci focalizzeremo sulla geometria birazionale delle superfici, cercando di capire come possa procedere una classificazione birazionale delle superfici. Proprio a tal proposito, introdurremo la dimensione di Kodaira e classificheremo le superfici minimali con dimensione di Kodaira 0, tra cui vi sono le superfici K3. Nel quarto ed ultimo capitolo ci concentreremo prettamente sulle superfici K3. In un primo momento faremo un'analisi più teorica: studieremo le caratteristiche topologiche, gli invarianti, calcoleremo i numeri di Hodge e faremo alcune considerazioni sul gruppo di Picard di una superficie K3. Successivamente, passeremo all’analisi di alcuni esempi espliciti selezionati: capiremo quali superfici K3 si possono ottenere come intersezioni complete in uno spazio proiettivo, vedremo la costruzione della superficie di Kummer di una superficie abeliana e studieremo le mappe associate ai sistemi lineari di curve lisce su una superficie K3 al variare del loro genere. Faremo un paio di esempi di superfici K3 che ammettono fibrazioni ellittiche, e concluderemo analizzando il legame che c’è tra le superfici di Enriques e le superfici K3 che ammettono un’involuzione senza punti fissi.