Il metodo Monte Carlo e tecniche di riduzione della varianza

L’obiettivo di questa tesi è quello di introdurre una delle tecniche di approssimazione numerica tra le più applicative e di recente (e attuale) sviluppo, nota come Metodo Monte Carlo (MC). Nel primo Capitolo si presenta il metodo, focalizzandosi sul Teorema Centrale del limite e sulla Legge dei grandi numeri, due cuori pulsanti di esso. In particolare vengono presentate due versioni del metodo MC, la versione classica e la versione “moderna”, l’Importance Sampling, con relativi esempi e codici riferiti al software di programmazione R. Di seguito, si conclude con la presentazione di 3 delle principali tecniche di riduzione della varianza, essenziali per diminuire l’errore generato dall’uso del metodo MC, che sono: la tecnica della variabile antitetica, il metodo delle variabili di controllo e, nuovamente, l’Importance Sampling. Il metodo Monte Carlo è un insieme di processi per la risoluzione di problemi tramite la generazione di numeri "‘casuali"’ e iterazioni multiple. Nasce principalmente come metodo risolutivo alternativo per problemi complessi, o impossibili, da risolvere in modo analitico. Sostanzialmente, il metodo MC mira ad invertire il solito paradigma dei problemi statistici, ovvero l’uso di quantità aleatorie per stimare quantità deterministiche al posto della stima di quantità aleatorie in modo deterministico. Alcuni classici esempi dell’uso di questo metodo si trovano proprio all’interno del campo della matematica, come il calcolare integrali, la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali e l’ottimizzazione di sistemi, ma non solo. Sono diventati essenziali, infatti, anche in svariati e disparati ambiti, tra cui la finanza, l’ingegneria, la biologia, la climatologia e addirittura l’ambito legislativo. Come si può osservare, la qualità delle stime attraverso il metodo MC è tanto migliore quanto più piccola la varianza delle variabili aleatorie di output. Subentrano così, le cosiddette tecniche di riduzione della varianza.