Teorema di Korovkin e applicazioni

Il teorema di approssimazione di Korovkin è un risultato di analisi funzionale dovuto al matematico Pavel Korovkin negli anni '50. Tale teorema afferma che, data una successione di operatori lineari positivi da uno spazio di Banach in sé, per dimostrare che essa converge uniformemente all'operatore identità, è sufficiente verificare che tale convergenza uniforme sussiste su un particolare sottoinsieme finito di elementi del dominio. Di tale risultato enunceremo e dimostreremo alcune versioni, mediante le quali sarà possibile dimostrare il teorema di approssimazione di Weierstrass, secondo il quale le funzioni continue su un intervallo compatto sono limite uniforme di una successione di polinomi, nel caso specifico i polinomi di Bernstein, il teorema di approssimazione di Fejér, il quale afferma che le funzioni continue periodiche di periodo 2pi sono limite uniforme di opportuni polinomi trigonometrici legati alla serie di Fourier della funzione. A conclusione si fornisce la definizione di matrice di Toeplitz , matrice quadrata di ordine n in cui ogni diagonale discendente da sinistra a destra è costante, associata una funzione f continua e periodica di periodo 2pi, i cui elementi sono coefficienti della serie di Fourier delle funzione associata opportunamente disposti. Dalla successione si definisce a sua volta una opportuna successione di operatori lineari positivi dallo spazio di funzioni continue e periodiche: di essa si fornisce un risultato di convergenza uniforme, basato su un teorema di tipo Korovkin.