Gennari, Andrea
(2024)
Teorema di Korovkin e applicazioni.
[Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in
Matematica [L-DM270], Documento ad accesso riservato.
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Abstract
Il teorema di approssimazione di Korovkin è un risultato di analisi funzionale dovuto al matematico Pavel Korovkin negli anni '50.
Tale teorema afferma che, data una successione di operatori lineari positivi da uno spazio di Banach in sé, per dimostrare che essa converge uniformemente all'operatore identità, è sufficiente verificare che tale convergenza uniforme sussiste su un particolare sottoinsieme finito di elementi del dominio.
Di tale risultato enunceremo e dimostreremo alcune versioni, mediante le quali sarà possibile dimostrare il teorema di approssimazione di Weierstrass, secondo il quale le funzioni continue su un intervallo compatto sono limite uniforme di una successione di polinomi, nel caso specifico i polinomi di Bernstein, il teorema di approssimazione di Fejér, il quale afferma che le funzioni continue periodiche di periodo 2pi sono limite uniforme di opportuni polinomi trigonometrici legati alla serie di Fourier della funzione.
A conclusione si fornisce la definizione di matrice di Toeplitz , matrice quadrata di ordine n in cui ogni diagonale discendente da sinistra a destra è costante, associata una funzione f continua e periodica di periodo 2pi, i cui elementi sono coefficienti della serie di Fourier delle funzione associata opportunamente disposti.
Dalla successione si definisce a sua volta una opportuna successione di operatori lineari positivi dallo spazio di funzioni continue e periodiche: di essa si fornisce un risultato di convergenza uniforme, basato su un teorema di tipo Korovkin.
Abstract
Il teorema di approssimazione di Korovkin è un risultato di analisi funzionale dovuto al matematico Pavel Korovkin negli anni '50.
Tale teorema afferma che, data una successione di operatori lineari positivi da uno spazio di Banach in sé, per dimostrare che essa converge uniformemente all'operatore identità, è sufficiente verificare che tale convergenza uniforme sussiste su un particolare sottoinsieme finito di elementi del dominio.
Di tale risultato enunceremo e dimostreremo alcune versioni, mediante le quali sarà possibile dimostrare il teorema di approssimazione di Weierstrass, secondo il quale le funzioni continue su un intervallo compatto sono limite uniforme di una successione di polinomi, nel caso specifico i polinomi di Bernstein, il teorema di approssimazione di Fejér, il quale afferma che le funzioni continue periodiche di periodo 2pi sono limite uniforme di opportuni polinomi trigonometrici legati alla serie di Fourier della funzione.
A conclusione si fornisce la definizione di matrice di Toeplitz , matrice quadrata di ordine n in cui ogni diagonale discendente da sinistra a destra è costante, associata una funzione f continua e periodica di periodo 2pi, i cui elementi sono coefficienti della serie di Fourier delle funzione associata opportunamente disposti.
Dalla successione si definisce a sua volta una opportuna successione di operatori lineari positivi dallo spazio di funzioni continue e periodiche: di essa si fornisce un risultato di convergenza uniforme, basato su un teorema di tipo Korovkin.
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(Laurea)
Autore della tesi
Gennari, Andrea
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
Korovkin,Fejèr,Teorema di approssimazione di Weierstrass,Matrice di Toeplitz
Data di discussione della Tesi
28 Giugno 2024
URI
Altri metadati
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(NON SPECIFICATO)
Autore della tesi
Gennari, Andrea
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
Korovkin,Fejèr,Teorema di approssimazione di Weierstrass,Matrice di Toeplitz
Data di discussione della Tesi
28 Giugno 2024
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