Formula dell'area per funzioni C^1 e applicazioni

Nel seguente elaborato, andremo a dimostrare la formula dell'area per funzioni lipschitziane di classe C^1. Il primo capitolo introdurrà le nozioni basilari di misura, insieme misurabile e misura metrica e definiremo l'integrazione rispetto a misure astratte. Quindi, introdurremo la misura di Hausdorff, soffermandoci a dimostrarne numerose proprietà, fra le quali l'essere una misura metrica e l'essere una misura di Borel. Studieremo anche il legame che intercorre fra la misura di Hausdorff e quella di Lesbegue N-dimensionali, procedendo a tappe per dimostrare la loro equivalenza sugli insiemi di R^N. Inoltre, daremo una stima della misura di Hausdorff dell'immagine di una funzione lipschitziana, in particolare di isometrie e dilatazioni. Il secondo capitolo si aprirà con la nozione di dimensione di Hausdorff e approfondiremo il suo significato studiando come varia la misura di Hausdorff alpha-dimensionale di un insieme, a seconda che alpha sia maggiore o minore della dimensione di Hausdorff. Definiremo, poi, gli insiemi p-piatti e gli insiemi parametrizzabili di R^N, per poi enunciare la formula dell'area, cui seguiteranno numerosi lemmi, che dimostreremo. Infine, verificheremo la validità della formula per varie tipologie di curve e superfici, e applicandola, fra le altre, per la superficie sferica, la superficie cilindrica e il toro.