Sul moto unidimensionale del punto: analisi qualitativa alla Weierstrass e stima dei tempi di percorrenza delle orbite periodiche

In questa tesi viene studiato il moto unidimensionale di un punto materiale mobile su una retta e soggetto a forze conservative, nel contesto della meccanica classica. Non potendo nella maggior parte dei casi risolvere l'equazione del moto in maniera esatta, ossia l'equazione differenziale del secondo ordine F(x)=m(d^2x/dt^2), fissate le condizioni iniziali (posizione e velocità iniziali), si pone come obiettivo quello di svolgere un'analisi di tipo qualitativo. Quest'ultima, pur non consentendo di conoscere la configurazione del punto istante per istante, permette di classificare il moto del punto in alcune ben precise tipologie. Più precisamente, sfruttando il principio di conservazione dell'energia totale E, denotando con V(x) l'energia potenziale, si ottiene l'equazione differenziale del primo ordine (1/2)m(dx/dt)^2+V(x)=E, che consente di scrivere la velocità v:=dx/dt in funzione della posizione, ossia nella forma v=v(x). A questo punto l'analisi qualitativa procede seguendo la cosiddetta discussione alla Weierstrass, che poggia sull'analisi degli zeri della velocità, ovvero della funzione f(x):=E-V(x), e sulla loro caratterizzazione in base alla molteplicità. Ne conseguono quattro tipologie di moto a cui il punto può essere soggetto: moto stazionario, moto asintotico verso un punto di equilibrio, moto periodico o moto aperiodico verso +∞ o -∞. In questo contesto risulta interessante poi rappresentare le orbite nel piano delle fasi (x,v), cioè il grafico della funzione v=v(x). Per fare ciò determinano i valori ammissibili dell'energia E e, in base alle condizioni iniziali, si associano le corrispondenti curve di livello. Al termine di queste analisi si va infine a studiare il tempo di percorrenza di un'orbita compresa fra due punti e in particolare il periodo relativo a un'orbita periodica.