Il Principio del Massimo per l'Operatore di Kolmogorov

L'operatore di Kolmogorov L è un operatore differenziale del secondo ordine di tipo parabolico, utilizzato per descrivere e studiare modelli che si evolvono nel tempo. Lo scopo di questa Tesi è quello di descrivere il Principio del Massimo per l'operatore L, il quale ci fornisce un importante strumento per lo studio del problema di Dirichlet associato. Nel primo capitolo, descriveremo la soluzione fondamentale per l'operatore di Kolmogorov, studiando il problema di Cauchy associato, mediante il metodo di Duhamel, che si basa sull'idea di ridurre il caso non omogeneo, a due sistemi con termine sorgente nullo. Inoltre, daremo una caratterizzazione della ipoellitticità per operatori parabolici. Nel secondo e terzo capitolo, descriveremo la formula di media per le soluzioni non negative di Lu=0, la quale ci fornirà una caratterizzazione delle funzioni L-armoniche. Inoltre, attraverso il metodo di discesa di Hadamard, saremo in grado di ottenere nuclei per la formula di media più regolari. Infine, dimostreremo la disuguaglianza di Harnack per l'operatore di Kolmogorov. Nell'ultimo capitolo descriveremo il Principio del Massimo Debole per operatori semiellittici, fornendone condizioni necessarie e sufficienti. Definiremo le classi di funzioni L-super/sub armoniche, dimostrando il Teorema del Confronto e il Principio del Massimo-Modulo. Introdurremo il bordo parabolico di un insieme, grazie al quale saremo in grado di dare analoghi risultati per operatori parabolici. Per ultimo, analizzeremo il problema di Dirichlet per l'operatore L, costruendone la soluzione di Perron-Wiener. In conclusione, applicheremo il Principio del Massimo Debole, mostrando che l'operatore di Green e l'operatore di Poisson possono essere usati per dare una rappresentazione integrale delle soluzioni del problema di Dirichlet, mediante il Teorema di Riesz-Markov-Kakutani.