Martingale discrete, esempi e risultati di convergenza

Partendo dai concetti di filtrazione e processo stocastico, si introducono le martingale a tempo discreto. Importanti risultati seguono unendo i concetti di tempo d'arresto e processo stocastico arrestato; si dimostra il Teorema di Optional Sampling, il quale afferma che arrestare una (sub-, super-) martingala ad un tempo aleatorio non altera la proprietà di (sub-, super-) martingala. Si forniscono tre esempi notevoli di martingale a tempo discreto: il caso della funzione armonica, l'Urna di Polya e le martingale definite a partire dai processi di Galton-Watson. La parte finale dell'elaborato si concentra su rilevanti risultati di convergenza per martingale a tempo discreto. Mediante le Disuguaglianze massimali si dimostra un primo caso di convergenza quasi certa ed in L2 per martingale i cui termini sono in L2. Le Disuguaglianze di Upcrossing permettono di dimostrare il Teorema di Convergenza di Martingale, il quale afferma l'esistenza di un limite puntuale per martingale i cui termini sono in L1. Si dimostrano risultati legati all'uniforme integrabilità al fine di dimostrare in quali casi è verificata sia la convergenza puntuale che in L1.