Catene di Markov: Teorema Ergodico, Convergenza all'Equilibrio ed Applicazioni

L'obiettivo principale della mia tesi è approfondire il comportamento nel lungo periodo delle catene di Markov, introducendo e provando il teorema ergodico e il teorema sulla convergenza all'equilibrio. Si analizzeranno le condizioni necessarie affinché una catena di Markov converga a lungo termine ad una distribuzione stazionaria, esaminando nel dettaglio il significato di questo teorema e di tale distribuzione, fornendo tutte le nozioni necessarie per comprendere tali risultati. Si vedranno alcune definizioni preliminari, l'interpretazione delle catene di Markov e come esse si colleghino a matrici e grafi. Si studieranno quindi le proprietà topologiche delle matrici e dei grafi in questione, introducendo una relazione di equivalenza data dalla comunicazione fra i diversi stati e la definizione di periodo della catena. Si classificheranno gli stati di una catena, attraverso la nozione di ricorrenza (positiva e nulla) e di transitorietà, e vedremo dei criteri, delle condizioni necessarie e sufficienti, per mostrare se una catena data è ricorrente o meno. Inoltre si esaminerà la definizione di tempo di arresto, con esempi fondamentali per la teoria sulle catene come i tempi di ritorno, o di ritorno successivi, e si estenderà la nozione di 'presente' attraverso la proprietà di Markov forte, dove tale ruolo è svolto da un tempo aleatorio e non deterministico. Dopo aver enunciato e provato il teorema ergodico e il teorema sulla convergenza all'equilibrio, dove ci si soffermerà sulla divisione fra caso periodico e aperiodico, ci sarà un'applicazione dei risultati visti alla termodinamica; si vedrà come il modello di diffusione del calore dei coniugi Ehrenfest, spiegato attraverso le catene, sia riuscito, tra la fine del 1800 e gli inizi del 1900, a risolvere un paradosso riguardante l'irreversibilità termodinamica, emerso in seguito alle teorie dei matematici Boltzmann e Zermelo.