La misura di Hausdorff e la formula dell'area

In questa tesi ci si occupa di studiare e approfondire la misura di Hausdorff e la formula dell'area. Partendo dallo studio della misura di Hausdorff e studiandone le proprietà si vuole generalizzare il teorema relativo al calcolo della misura di Lebesgue dell'immagine attraverso una funzione C^k di un insieme contenuto in R^N. Tale generalizzazione è appunto possibile tramite la misura di Hausdorff ed è chiamata formula dell'area. Nel primo capitolo si definisce la misura di Hausdorff e si studiano le sue proprietà; nel secondo capitolo si enuncia e si dimostra la formula dell'area. Per giungere alla dimostrazione si necessita di diversi lemmi che vengono riportati all'interno del capitolo. Nel terzo capitolo si riportano diverse osservazioni derivanti dalla formula dell'area: la più importante è la formula dell'area con molteplicità. La funzione molteplicità viene introdotta per eliminare le condizioni di iniettività. La formula dell'area è, infatti, stata dimostrata per funzioni iniettive e lipschitziane. Nel terzo capitolo sono, inoltre, riportati diversi esempi relativi al calcolo di aree di superfici. Infine nel quarto capitolo si estende il Teorema sul cambiamento di variabile dell'integrale di Lebesgue attraverso gli integrali su insiemi parametrizzabili.