Alcune proprietà classiche delle funzioni armoniche e il problema di Dirichlet per il Laplaciano

Con il seguente elaborato vogliamo dare uno sguardo introduttivo alla teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, studiando uno degli operatori più noti, ossia il Laplaciano. In particolare, studieremo alcune proprietà fondamentali delle funzioni armoniche, quali la proprietà di valor medio, e Principi del massimo e la disuguaglianza di Harnack. Tali proprietà garantiranno l'unicità per il problema di Dirichlet. Inoltre ricaveremo alcune importanti formule di rappresentazione integrale, introducendo la funzione di Green per il Laplaciano relativa a un dominio. Studieremo il problema di Dirichlet per il Laplaciano, la cui soluzione è armonica su un dominio e assume un dato continuo al bordo. In particolare, troveremo la soluzione esplicita del problema nel caso in cui il dominio sia una palla, tramite il cosiddetto metodo delle immagini. Inoltre, studieremo l'esistenza della soluzione al problema nel caso di domini generici, tramite il metodo di Perron. Infine, ci serviremo di strumenti di analisi complessa per dare un risultato di regolarità per funzioni armoniche in due variabili.