Soluzioni fondamentali di operatori differenziali a coefficienti costanti

Lo scopo di questa Tesi è di presentare i principali risultati riguardanti le soluzioni fondamentali di operatori differenziali a coefficienti costanti. Inizialmente viene introdotta la teoria delle distribuzioni, con esempi e dimostrazioni di vari risultati, mostrando e giustificando come le usuali operazioni tra funzioni vengono estese a questi funzionali. Successivamente si studiano le proprietà degli operatori differenziali, ordinari e parziali, e delle loro soluzioni fondamentali. In particolare verrà dimostrato il Teorema di Malgrange-Ehrenpreis, che dimostra che ogni operatore differenziale a coefficienti costanti (non nullo) ammette una soluzione fondamentale, e si introduce la nozione di operatore ipoellittico, per andare a studiare le proprietà di regolarità delle loro soluzioni. Infine si mostra che l'operatore delle onde non è ipoellittico, e si presenta la costruzione delle soluzioni fondamentali degli operatori di Laplace e del calore, provando che questi ultimi sono entrambi ipoellittici.