Controllo ottimale mediante regolarizzazione frazionaria e funzione di lifting per l'equazione di conduzione del calore nei solidi

Il lavoro di questa tesi si focalizza sull'analisi del problema del controllo ottimale sulla frontiera per il campo di temperatura e flusso termico nei solidi. Si propone un metodo diretto di risoluzione basato sulle solide basi matematiche della teoria del controllo. Seguendo questa direzione lo spazio frazionario di Sobolev viene esposto al fine di presentare i modelli risolutivi dell’operatore Laplaciano frazionario. Una nuova formula analitica viene presentata al fine di agevolare e ridurre i lunghi tempi di calcolo di questi modelli con caratteristiche non locali. Il sistema del controllo viene dunque ricavato tramite utilizzo dei moltiplicatori di Lagrange. Al fine di rispettare i stringenti vincoli imposti dai teoremi cardini di questa teoria, quali il teorema della traccia e del bilancio della regolarità, tre fattori di regolarizzazioni vengono utilizzati e poi confrontati tra loro. Il primo di questi ricava una soluzione nello spazio intero di Sobolev, di conseguenza le proprietà richieste dalla soluzione ottimale non vengono rispettate. Il secondo applica l’operatore frazionario alla funzione ricercata, garantendo di soddisfare i requisiti di regolarità desiderati. L’ultimo approccio, mediante l’introduzione di una funzione di controllo estesa verso l’interno del dominio, svolge una regolarizzazione analoga a quella precedente, ma con grossi vantaggi in termini di efficienza computazionale. Infine, un’analisi dei diversi metodi su come attuare il controllo viene effettuata al fine di studiare l’influenza della scelta della regione di controllo sull'ottimizzazione del sistema.