L'equazione di Van der Pol: un modello matematico per fenomeni con oscillazioni di rilassamento

L'obiettivo di questa tesi è presentare una descrizione rigorosa delle soluzioni dell'equazione di Van der Pol. Partirò con un'introduzione storica relativa alle ricerche di Van der Pol con conseguente scoperta e sviluppo dell'omonima equazione. Tale equazione è nata nell'ambito della radiotecnica e, successivamente, fu proposta da Van der Pol come modello matematico in ambiti alquanto complessi. In seguito, introdurrò gli strumenti necessari per l'analisi qualitativa delle soluzioni dell'equazione di Van der Pol. Si fa utilizzo di risultati classici riguardanti lo studio delle soluzioni di equazioni differenziali autonome per orbite periodiche e punti d'equilibrio, il concetto di stabilità alla Lyapunov e la mappa di Poincaré. In particolare, definirò il fenomeno del ciclo limite introducendo gli insiemi limite e il teorema di Poincaré-Bendixon, ed in seguito, analizzerò il fenomeno del ciclo limite per l'equazione di Van der Pol. Il fulcro del lavoro riguarda lo studio dell'equazione in funzione dei diversi valori di un parametro da cui dipende l'equazione con particolare riguardo al ciclo limite. Discuterò tre regioni; il caso dell'oscillatore armonico di pulsazione uno, il caso di smorzamento debole fino al caso delle oscillazioni con rilassamento, chiave di studi successivi. Dopo, accenerò al caso di perturbazioni non autonome. In conclusione, descriverò, in maniera semplificata, una delle applicazioni più significative dell'equazione: l'oscillatore di Van der Pol come modello del pacemaker circadiaco umano. Tale applicazione trova sviluppo a seguito delle oscillazioni con rilassamento definite da Van der Pol stesso, che insieme a Van der Mark, presentò un articolo sui fenomeni che presentavano delle oscillazioni con rilassamento. Tra i fenomeni proposti solo quello del battito cardiaco ha trovato successo negli anni successivi. In questo lavoro riporterò una visione semplificata, ma comunque accurata, di tale applicazione.