Il problema di Dirichlet calorico: il metodo di Perron

La presente tesi verte sul classico primo problema di valori al contorno per l'equazione del calore nello spazio-tempo n+1 dimensionale. Questo problema, spesso studiato su domini cilindrici per consentire e sfruttare una separazione fra le variabili spaziali e quella temporale, può tuttavia essere studiato su arbitrari aperti limitati dello spazio R^(n+1), grazie ad alcune proprietà cruciali che l'operatore del calore condivide con quello di Laplace. Per quest'ultimo operatore un metodo dovuto a O. Perron consente uno studio profondo e completo del primo problema di valori al contorno, normalmente chiamato problema di Dirichlet. Il metodo di Perron poggia su alcuni principi fondamentali per le funzioni armoniche, i.e., le soluzioni dell'equazione di Laplace, in gran parte verificati anche dalle funzioni caloriche, le soluzioni dell'equazioni del calore. Esistono numerosi trattati specialistici nei quali si mostra come il metodo di Perron si possa adattare all'equazione del calore. In questa tesi, presentiamo un metodo in gran parte nuovo, apparso molto recentemente in letteratura, e che elimina una delle principali difficoltà del metodo di Perron calorico: la costruzione di una base della topologia euclidea costituita da aperti risolutivi per il problema di Dirichlet calorico. Precisamente, nella tesi si presenta un metodo del tutto elementare, introdotto nel recentissimo lavoro "A.E. Kogoj, E. Lanconelli: On the Perron solution of the caloric Dirichlet problem: an elementary approach, J. Evol. Equation, 22 (2022)", per la costruzione di una tale base di aperti. Una trattazione dettagliata di questo nuovo metodo, e della conseguente risoluzione generalizzata col metodo di Perron del problema di Dirichlet calorico, si trova nel lavoro sovracitato.