Campi realmente chiusi e il Teorema Fondamentale dell'Algebra

Nella tesi si inizia con il provare che un campo è ordinabile se e solo è un campo formalmente reale, il che significa che -1 non può essere scritto come somma di quadrati. Si prosegue con il Teorema di Artin-Schreier, dal quale segue come corollario che un campo è realmente chiuso, cioè massimale come campo formalmente reale nella sua chiusura algebrica, se e solo se ha la proprietà del valore intermedio per i polinomi. Si dà poi una costruzione del completamento di un campo ordinato mediante successioni di Cauchy, che applicata al campo Q dei numeri razionali dà una costruzione dei numeri reali. Si conclude provando alcune proprietà del campo reale appena costruito grazie alle quali si vede che R è realmente chiuso, e ciò insieme al Teorema di Artin-Schreier dà il Teorema Fondamentale dell’Algebra. L’intera trattazione è puramente algebrica e self contained, tranne per l'uso della Teoria di Galois nella dimostrazione del Teorema di Artin-Schreier.