Costruzione, principio di invarianza e tempi di uscita del moto Browniano

L'obiettivo di questa tesi è studiare una trattazione matematica del moto Browniano visto come processo stocastico. Nel primo capitolo si introducono gli aspetti matematici, probabilistici, alla base di questa trattazione. Nel secondo capitolo introdurremo il moto Browniano visto come processo stocastico a tempo continuo, e attraverso il teorema di Wiener, ne dimostreremo l'esistenza. In particolare nella dimostrazione vedremo che il moto Browniano può essere ottenuto a partire da un processo discreto che conserva le proprietà di distribuzione richieste al limite. Proseguiamo inoltre a studiare la relazione tra random walk e moto Browniano. Vedremo in particolare il principio di invarianza di Donsker che ci permette di ottenere il moto Browniano mediante una convergenza debole ottenuta a partire dalla costruzione di una successione di random walk. Nel terzo capitolo vedremo una caratterizzazione analitica del tempo di uscita del moto Browniano. In particolare studieremo il legame tra tempo di uscita da un dominio limitato di un moto Browniano e la soluzione di una equazione differenziale ellittica.