Basi integrali in campi di numeri

In questo elaborato introduciamo la nozione di intero algebrico, e studiamo la struttura dell’anello R degli interi algebrici in un campo di numeri K. Esso risulta essere uno Z-modulo libero di rango finito uguale al grado di K sui razionali. Pertanto R ammette una base su Z, che è anche una base per K sui razionali, detta base integrale. Utilizzando lo strumento del discriminante abbiamo studiato alcune proprietà della base integrale e di R. In particolare abbiamo visto la struttura di R nel caso del composto di due campi, e l’esistenza di una particolare base integrale, costituita da particolari polinomi in un intero algebrico a coefficienti razionali. Quindi applichiamo questi risultati ai campi quadratici e ciclotomici determinando in questi due casi l’anello R e una sua base integrale. È stato necessario introdurre preliminarmente alcuni risultati di teoria dei moduli, in particolare riguardo a moduli liberi su domini a ideali principali.