Un'applicazione meccanica delle superfici di traslazione

Un biliardo matematico è un poligono semplice nel quale un punto che si muove al suo interno, impattando con i lati, modifica la propria traiettoria secondo leggi di Snell per l'ottica geometrica. Studiando il moto di un punto all'interno di un biliardo, un problema che sorge naturale è quello di chiedersi sotto quali condizioni un'orbita, cioè l'in- sieme di tutte le traiettorie descritte dal punto, risulti periodica. La ricerca di oribite periodiche all'interno di biliardi poligonali è un problema abbon- dantemente studiato dai matematici e non ancora completamente risolto. La complessità del problema dipende in parte dalla geometria che caratterizza il biliardo. Scopo di questa tesi sarà quello di ricercare, sotto opportune condizioni, or- bite periodiche all'interno di triangoli con particolare interesse verso quelli rettangolari e mostrarne un'applicazione a un problema di natura meccani- ca. Il primo capitolo sarà dedicato alle definizioni preliminari con attenzione particolare alla definizione di mappa biliardo a partire dalle ipotesi sulla riflessione delle traiettorie. Verrano poi successivamente analizzati esempi semplici di specifici triangoli. Nel secondo capitolo verrano introdotte Superfici di Traslazione: superfici ottenute per identificazione di lati di poligoni disgiunti per mezzo di tra- slazioni affini. Verrà di seguito mostrato come a partire dalla costruzione di una superficie di traslazione sarà possibile individuare orbite periodioche all'interno di qualsia triangolo rettangolo avente angoli razionali. Infine, il terzo capitolo sarà dedicato a mostrare l'equivalenza tra lo studio di una traiettoria di un punto all'interno di un biliardo a forma di triangolo rettangolo e i possibili urti che due punti massivi {P1, m1} e {P2, m2} posso- no avere tra di loro e tra gli estremi di un segmento unitario [0, 1] nel quale sono vincolati a muoversi.