A Multilevel Gradient Method for Optimization Problems

I problemi di ottimizzazione di dimensione finita di larga scala spesso derivano dalla discretizzazione di problemi di dimensione infinita. È perciò possibile descrivere il problema di ottimizzazione su più livelli discreti. Lavorando su un livello più basso di quello del problema considerato, si possono calcolare soluzioni approssimate che saranno poi punti di partenza per il problema di ottimizzazione al livello più fine. I metodi multilivello, già ampiamente presenti in letteratura a partire dagli anni Novanta, sfruttano tale caratteristica dei problemi di ottimizzazione per migliorare le prestazioni dei metodi di ottimizzazione standard. L’obiettivo di questa tesi è quello di implementare una variante multilivello del metodo del gradiente (MGM) e di testarlo su due diversi campi: la risoluzione delle Equazioni alle Derivate Parziali la ricostruzione di immagini. In questo elaborato viene illustrata la teoria dello schema multilivello e presentato l’algoritmo di MGM utilizzato nei nostri esperimenti. Sono poi discusse le modalità di utilizzo di MGM per i due problemi sopra presentati. Per il problema PDE, i risultati ottenuti mostrano un ottimo comportamento di MGM rispetto alla implementazione classica ad un livello. I risultati ottenuti per il problema di ricostruzione di immagini, al contrario delle PDEs, evidenziano come MGM sia efficace solo in determinate condizioni.