L'equazione delle onde

La seguente tesi vuole esplicitare la soluzione dell'equazione delle onde, dimostrandone l'esistenza in ogni dimensione. Dopo aver introdotto dei concetti preliminari, lo studio comincerà dall'equazione delle onde nel caso unidimensionale omogeneo. Verrà trovata la soluzione del relativo problema di Cauchy, descritta dalla formula di d'Alembert. A partire da questo risultato, si potrà ricavare la soluzione del caso tridimensionale attraverso le medie sferiche, definita dalla formula di Kirchhoff. Il caso in due dimensioni verrà trattato come un problema immerso all'interno di quello in tre dimensioni, in modo da sfruttare le conclusioni già note. Si otterrà così la relativa formula di Poisson. Per ricavare la soluzione in dimensione n, si dovrà fare distinzione tra dimensione pari e dispari, e seguendo una procedura analoga a quelle per le dimensioni tre e due, si troverà la formula generale. In seguito verrà analizzata l'equazione delle onde nel caso non omogeneo, risolta grazie al principio di Duhamel. Nel capitolo finale, con il metodo dell'energia verrà dimostrata l'unicità della soluzione e verrà visto il teorema che dimostra come la soluzione abbia finita velocità di propagazione.