Biagini, Guglielmo
(2022)
Analisi delle componenti principali: la versione "sparsa".
[Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in
Matematica [L-DM270], Documento ad accesso riservato.
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Abstract
Lo scopo di questa tesi è introdurre alla analisi delle componenti principali, una metodologia statistico computazionale utilizzata per l'interpretazione di grandi insiemi di dati. L'obiettivo principale di questa tecnica è quello di ridurre le dimensioni del problema ricercando delle combinazioni lineari delle variabili di partenza che mantengano le principali informazioni sulla variabilità dei dati. In particolare, all’interno di questo elaborato verrà trattata una variante della PCA: l’analisi delle componenti principali “sparsa”.
Dopo alcuni richiami iniziali verrà presentato un approccio standard all'analisi delle componenti principali, legato alle proprietà della matrice di covarianza (o correlazione) dei dati iniziali. Successivamente ne verrà mostrato un secondo approccio basato sulla decomposizione in valori singolari della matrice dei dati.
Questo metodo permetterà di ottenere gli stessi risultati dell'approccio standard senza calcolare in modo esplicito la matrice di covarianza (o correlazione) dei dati e consentirà di sfruttare alcune proprietà importanti della decomposizione in valori singolari.
Per introdurre la variante “sparsa” dell’analisi delle componenti principali verranno riportate alcune nozioni di base sulla regressione lineare. Infatti, questa tecnica ci permetterà di ottenere delle nuove combinazioni lineari delle variabili originarie che abbiano un numero alto di coefficienti uguali a zero, questo favorirà l’analisi delle componenti principali.
La tesi si concluderà con la presentazione di alcuni risultati rielaborati in linguaggio Matlab, insieme alla valutazione dei risultati ottenuti.
Abstract
Lo scopo di questa tesi è introdurre alla analisi delle componenti principali, una metodologia statistico computazionale utilizzata per l'interpretazione di grandi insiemi di dati. L'obiettivo principale di questa tecnica è quello di ridurre le dimensioni del problema ricercando delle combinazioni lineari delle variabili di partenza che mantengano le principali informazioni sulla variabilità dei dati. In particolare, all’interno di questo elaborato verrà trattata una variante della PCA: l’analisi delle componenti principali “sparsa”.
Dopo alcuni richiami iniziali verrà presentato un approccio standard all'analisi delle componenti principali, legato alle proprietà della matrice di covarianza (o correlazione) dei dati iniziali. Successivamente ne verrà mostrato un secondo approccio basato sulla decomposizione in valori singolari della matrice dei dati.
Questo metodo permetterà di ottenere gli stessi risultati dell'approccio standard senza calcolare in modo esplicito la matrice di covarianza (o correlazione) dei dati e consentirà di sfruttare alcune proprietà importanti della decomposizione in valori singolari.
Per introdurre la variante “sparsa” dell’analisi delle componenti principali verranno riportate alcune nozioni di base sulla regressione lineare. Infatti, questa tecnica ci permetterà di ottenere delle nuove combinazioni lineari delle variabili originarie che abbiano un numero alto di coefficienti uguali a zero, questo favorirà l’analisi delle componenti principali.
La tesi si concluderà con la presentazione di alcuni risultati rielaborati in linguaggio Matlab, insieme alla valutazione dei risultati ottenuti.
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(Laurea)
Autore della tesi
Biagini, Guglielmo
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
componenti principali varianza decomposizione in valori singolari regressione lineare
Data di discussione della Tesi
30 Settembre 2022
URI
Altri metadati
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(NON SPECIFICATO)
Autore della tesi
Biagini, Guglielmo
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
componenti principali varianza decomposizione in valori singolari regressione lineare
Data di discussione della Tesi
30 Settembre 2022
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