La proprietà di media delle funzioni armoniche: rigidità e stabilità

Zacchini, Lorenzo (2022) La proprietà di media delle funzioni armoniche: rigidità e stabilità. [Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in Matematica [L-DM270], Documento full-text non disponibile
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Abstract

Questo lavoro di tesi ha come argomento principale la proprietà di media delle funzioni armoniche. Il primo Capitolo è dedicato allo studio delle funzioni armoniche: in particolare, si dà la dimostrazione delle formule di media di superficie e di volume, si dimostra che esse caratterizzano le funzioni armoniche, e, infine, si dimostra che vale il principio del massimo. Nel secondo Capitolo viene trattato il problema di Dirichlet per l'operatore di Laplace: si introduce la funzione di Green, si costruisce il nucleo di Poisson per la palla e si dimostra che, a partire da esso, è possibile costruire una soluzione classica per il problema nella palla. Nel terzo Capitolo, si danno due stime di stabilità delle formule di media di volume: se un aperto di misura finita e un suo punto verificano "quasi'' la formula della media di volume per ogni funzione armonica, allora tale aperto è "quasi'' una palla centrata in quel punto. Da ciò segue immediatamente la rigidità della formula, ovvero il Teorema di Kuran: le palle sono gli unici aperti di misura finita che verificano la formula della media di volume per ogni funzione armonica. L'ultimo Capitolo è dedicato alla rigidità della formula della media di superficie. Sotto alcune ipotesi di regolarità, infatti, è possibile dimostrare che le sfere sono le uniche superfici che verificano tale formula per ogni funzione armonica. Quest'ultimo notevole risultato è dovuto a G. Fichera.

Abstract
Tipologia del documento
Tesi di laurea (Laurea)
Autore della tesi
Zacchini, Lorenzo
Relatore della tesi
Correlatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
laplaciano,funzioni armoniche,formule di media,principio del massimo,problema di Dirichlet,nucleo di Poisson,funzione di Green,stabilità,rigidità,Teorema di Kuran
Data di discussione della Tesi
25 Marzo 2022
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