La proprietà di media delle funzioni armoniche: rigidità e stabilità

Questo lavoro di tesi ha come argomento principale la proprietà di media delle funzioni armoniche. Il primo Capitolo è dedicato allo studio delle funzioni armoniche: in particolare, si dà la dimostrazione delle formule di media di superficie e di volume, si dimostra che esse caratterizzano le funzioni armoniche, e, infine, si dimostra che vale il principio del massimo. Nel secondo Capitolo viene trattato il problema di Dirichlet per l'operatore di Laplace: si introduce la funzione di Green, si costruisce il nucleo di Poisson per la palla e si dimostra che, a partire da esso, è possibile costruire una soluzione classica per il problema nella palla. Nel terzo Capitolo, si danno due stime di stabilità delle formule di media di volume: se un aperto di misura finita e un suo punto verificano "quasi'' la formula della media di volume per ogni funzione armonica, allora tale aperto è "quasi'' una palla centrata in quel punto. Da ciò segue immediatamente la rigidità della formula, ovvero il Teorema di Kuran: le palle sono gli unici aperti di misura finita che verificano la formula della media di volume per ogni funzione armonica. L'ultimo Capitolo è dedicato alla rigidità della formula della media di superficie. Sotto alcune ipotesi di regolarità, infatti, è possibile dimostrare che le sfere sono le uniche superfici che verificano tale formula per ogni funzione armonica. Quest'ultimo notevole risultato è dovuto a G. Fichera.