Barrier Option Pricing under the Brunick and Shreve Model

In questa tesi viene descritta un'idea per il pricing delle opzioni barriera, un tipo di opzione esotica il cui valore dipende dal fatto che il prezzo del sottostante raggiunga o meno un certo livello chiamato barriera. In pariticolare, mostriamo le estensioni di risultati già noti nel caso di opzioni Europee, il lemma di Gyöngy e la formula di Dupire. Nella prima parte, analizziamo il risultato di Brunick e Shreve, che permette di estendendere il lemma di Gyöngy al caso del massimo (essenziale per le opzioni con barriera). Descriviamo la derivazione della formula di Dupire per le opzioni Europee, nel contesto della volatilità locale. Poi deriviamo una equazione forward per prezzi di opzioni barriera, nel caso particolare di una opzione up-and-out. A partire da questa, riusciamo a ricavare una formula di tipo Dupire per il coefficiente derivato da Brunick e Shreve. Nella seconda parte del lavoro ci occupiamo di mostrare un'implementazione numerica, con l'obiettivo di validare il modello. Quindi, trasformiamo quest'ultima in una PIDE, con l'obiettivo di farne un'approssimazione più stabile, e descriviamo una possibile idea utilizzando il metodo delle differenze finite e, per la parte integrale, la formula dei trapezi. Poi ricaviamo la equazione backward per il pricing di opzioni barriera di tipo Black-Sholes-Merton, e presentiamo i dettagli per l'approssimazione numerica, anche in questo caso con il metodo delle differenze finite. Infine, mostriamo che le soluzioni numeriche della forward PIDE e della backward PDE sono quasi identiche (errore molto piccolo).