Il metodo di continuazione per perturbazioni autonome: teoria e applicazioni

In questa tesi viene illustrato il metodo di continuazione per sistemi di equazioni differenziali autonomi nel piano. Tale metodo si applica in particolare a un sistema fisico costituito da un oscillatore sottoposto ad uno smorzamento. L’esempio più banale è quello di una molla, il cui moto può essere smorzato da diversi fattori come l’attrito dell’aria. Nel capitolo 1 vengono presentati alcuni risultati e concetti preliminari che rivestiranno grande importanza nella descrizione del metodo. Tale descrizione avviene in dettaglio nel capitolo 2: nello specifico, partendo da un sistema del primo ordine, si analizza l’esistenza di un’orbita periodica in presenza di perturbazione, distinguendo tra diverse tipologie di sistemi non perturbati. Si studia anche se queste soluzioni sono stabili o meno. Nel capitolo 3, invece, si analizzano due esempi concreti di applicazione. Il secondo di questi è l’equazione di Van der Pol omogenea. Tale equazione, introdotta da Lord Rayleigh nel 1883, deve tuttavia il suo nome all’ingegnere olandese Balthasar van der Pol (1889-1959), che la utilizzò nel 1926 per descrivere un circuito elettrico composto da un triode. In questo senso, viene qui descritto l’impiego dell’equazione nello studio di un circuito che presenta un amplificatore, e che quindi è in grado di aumentare la sua energia. L’utilità dell’equazione non si ferma comunque qui: lo stesso van der Pol, assieme a Johannes van der Mark, la propose nel 1928 come modello per il battito cardiaco. Nel capitolo viene anche esposta una dimostrazione dell’esistenza di un ciclo limite per l’equazione.