Il problema di Sturm-Liouville

In questo elaborato consideriamo l'operatore differenziale del secondo ordine lineare unidimensionale Lu:=-(pu')' +qu e due problemi al contorno ad esso associati. Il primo è un problema di Dirichlet. Il secondo è il problema degli autovalori di Sturm-Liouville, ossia lo studio dell'esistenza di soluzioni non nulle di un’equazione differenziale del secondo ordine soggetta a condizioni al contorno. Grazie alla teoria degli spazi di Sobolev distingueremo tra soluzione classica e soluzione debole di tali problemi, mostrando che sotto certe ipotesi di regolarità esse sono nozioni equivalenti. L'approccio che useremo per affrontare questi problemi è variazionale: dimostreremo che le soluzioni deboli dei suddetti problemi sono esattamente i minimi di opportuni funzionali. L'esistenza di tali minimi verrà garantita dal metodo diretto del Calcolo delle Variazioni. Tale metodo individua nelle proprietà di inferiore semicontinuità e di coercività di un funzionale, le condizioni che, assieme, garantiscono l'esistenza di suoi minimi. Per quanto riguarda il primo problema, si studierà un particolare funzionale in uno spazio di Sobolev su cui esso si minimizza. Si dimostrerà che per tale funzionale valgono le proprietà di inferiore semicontinuità e di coercività, e che grazie a opportune proprietà di convessità della funzione integranda si dedurrà l'unicità del minimo. Lo studio del problema degli autovalori di Sturm-Liouville è più delicato. I valori per cui esistono soluzioni non nulle di tale problema si dicono autovalori dell'operatore L e le corrispondenti soluzioni non nulle sono dette autofunzioni associate all’autovalore. Di tali autovalori e delle relative autofunzioni dimostreremo diverse proprietà. Dalla risoluzione dei corrispondenti problemi di minimo si dimostrerà che gli autovalori sono semplici e che formano una successione e strettamente crescente e divergente a infinito. Verranno descritte poi diverse proprietà delle autofunzioni.