Laplaciano vs Laplaciano Frazionario

Questa trattazione ha lo scopo di confrontare alcune proprietà di due operatori ellittici di particolare rilievo nell'analisi matematica: il Laplaciano e il Laplaciano Frazionario. In particolare ci occuperemo della risoluzione del problema di Poisson-Dirichlet, che andremo ad enunciare sul dominio standard dato dalla palla di centro l'origine e raggio R>0 per entrambi gli operatori. Andremo successivamente a mostrare, sempre confrontando entrambi i casi, un risultato importantissimo: la Disuguaglianza di Harnack. Procedendo in questo modo, noteremo che vi sono numerose analogie fra le soluzioni del problema di Poisson-Dirichlet per il Laplaciano e di quello per il Laplaciano Frazionario, ma anche differenze notevoli: infatti di fondamentale importanza è ricordare che mentre il Laplaciano è un operatore locale e dunque nel problema considerato abbiamo delle condizioni sulla palla e sulla sua frontiera, il Laplaciano Frazionario è un operatore non locale. In questo secondo caso, la soluzione del problema è influenzata da ciò che succede in tutto lo spazio R^n, non solo sulla palla, e a causa di questa sua proprietà il problema esaminato richiede l'assegnazione dei dati sulla palla e sul suo complementare.