Applicazione delle reti neurali residuali ai mercati energetici e loro interpretazione come problema di controllo ottimo stocastico.

La tesi ha l'obiettivo di stabilire un legame tra reti neurali residuali e teoria del controllo ottimo stocastico, a partire dalla formulazione proposta da E, Han e Li nell'articolo "A mean-field optimal control formulation of deep learning". Tale legame è indagato dal punto di vista teorico, attraverso lo sviluppo e lo studio del problema di controllo ottimo stocastico coinvolto. L'idea è quella di interpretare una rete neurale residuale come un problema di controllo ottimo a tempo continuo, supponendo di far tendere all'infinito il numero di strati. In questo modo i pesi della rete, ovvero i parametri che devono essere calibrati per garantire una buona capacità predittiva, vengono identificati con il processo di controllo soluzione del problema di controllo ottimo. Dal punto di vista teorico, vengono utilizzati strumenti quali il principio della programmazione dinamica e la nozione di soluzione di viscosità per l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman, che coinvolge operatori differenziali recentemente proposti da Pierre-Louis Lions per funzioni definite sullo spazio di Wasserstein delle misure di probabilità con momento secondo finito. Dal punto di vista applicativo, si è scelto di utilizzare una rete neurale residuale del pacchetto Keras di Python per risolvere un problema reale legato all'ambito dei mercati energetici, con lo scopo di indagare la relazione tra prezzi e volumi dei sottostanti di interesse. Il contributo di questo lavoro di tesi è quindi dato da una formulazione rigorosa del legame tra rete residuale e problema di controllo e ad una generalizzazione dei risultati teorici necessari alla caratterizzazione dei parametri ottimali. L'ipotesi che viene suggerita è che un ulteriore sviluppo teorico del problema di controllo ottimo possa dare un supporto utile alle applicazioni, attraverso diversi algoritmi di risoluzione o fornendo opportune caratterizzazioni dei parametri ottimali.