L'equazione d'onda non omogenea in elettromagnetismo e in relatività generale

In questo lavoro di tesi proponiamo di analizzare il legame tra le equazioni dell'elettromagnetismo di Maxwell e le equazioni di campo di Einstein, verificando come in opportune condizioni le seconde presentano una forma analoga alle prime. Verranno ricapitolate alcune nozioni chiave dell'elettromagnetismo e della Relatività Ristretta, fondamentali per giungere alla formulazione covariante delle equazioni di Maxwell. In particolare, si analizzeranno le relazione tra il campo elettrico e magnetico ed i potenziali vettore e scalare, necessari per costruire il tensore del campo elettromagnetico ed il quadripotenziale. Partendo poi da una breve introduzione delle equazioni di campo di Einstein, vedremo come, lavorando in condizioni di campo gravitazionale debole, sia possibile ottenere una forma linearizzata di queste ultime e di come essa presenti una struttura analoga all'equazione delle onde, o di d'Alembert. Infine, presenteremo una soluzione analitica per questo tipo di equazioni differenziali. Utilizzando come caso applicativo l'equazione di Maxwell in forma tensoriale, introdurremo brevemente il concetto funzione di Green e di come applicarlo al caso dell'equazione di d'Alembert. Ne ricaveremo una forma esplicita, osservando come la richiesta di validità del principio di causalità imporrà un vincolo sulla scelta della soluzione, e di come questa porti poi alla definizione del potenziale ritardato.