La disuguaglianza di Brunn-Minkowski

Questa tesi ha come argomento la disuguaglianza di Brunn-Minkowski, risultato fondamentale nella teoria della geometria convessa. Essa riguarda la relazione esistente tra i volumi di due corpi convessi (insiemi compatti, convessi e non vuoti) e il volume del corpo convesso ottenuto come "combinazione convessa" dei due. Nella tesi presentiamo una delle dimostrazioni che poggia sulla disuguaglianza di Prèkopa-Leindler. I primi capitoli della tesi sono rivolti alla presentazione, il più possibile dettagliata, dei prerequisiti. La parte più impegnativa e più tecnica della tesi è costituita dalla preparazione della dimostrazione della disuguaglianza di Prèkopa-Leindler. Essa si basa su importanti risultati della teoria della misura, la cui trattazione viene sviluppata nei primi capitoli, riguardanti le funzioni monotone, le funzioni a variazione limitata e le funzioni assolutamente continue. Infatti necessitiamo del teorema di derivabilità q.o. delle funzioni monotone, che viene qui dimostrato facendo uso del famoso lemma di Vitali, del Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue, della formula di derivazione di funzioni composte per funzioni non regolari, di un risultato di validità della formula della catena e di una opportuna formulazione di integrazione per sostituzione per l'integrale di Lebesgue. Altro risultato utile è la disuguaglianza tra la media aritmetica e la media geometrica. Nel capitolo finale, forniamo un'applicazione rilevante, quanto naturale, della disuguaglianza di Brunn-Minkowski: la disuguaglianza isoperimetrica per i corpi convessi. Essa viene dimostrata utilizzando la cosiddetta formula di Steiner e la prima disuguaglianza di Minkowski per i corpi convessi. Mostriamo inoltre che dalla caratterizzazione degli insiemi che danno l'uguaglianza per la disuguaglianza di Brunn-Minkowski, è possibile dimostrare che i corpi convessi che danno l'uguaglianza per la disuguaglianza isoperimetrica sono tutte e sole le palle euclidee.