Giannerini, Davide
(2021)
La disuguaglianza di Brunn-Minkowski.
[Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in
Matematica [L-DM270], Documento ad accesso riservato.
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Abstract
Questa tesi ha come argomento la disuguaglianza di Brunn-Minkowski, risultato fondamentale nella teoria della geometria convessa.
Essa riguarda la relazione esistente tra i volumi di due corpi convessi (insiemi compatti, convessi e non vuoti) e il volume del corpo convesso ottenuto come "combinazione convessa" dei due. Nella tesi presentiamo una delle dimostrazioni che poggia sulla disuguaglianza di Prèkopa-Leindler.
I primi capitoli della tesi sono rivolti alla presentazione, il più possibile dettagliata, dei prerequisiti. La parte più impegnativa
e più tecnica della tesi è costituita dalla preparazione della dimostrazione della disuguaglianza di Prèkopa-Leindler.
Essa si basa su importanti risultati della teoria della misura, la cui trattazione viene sviluppata nei primi capitoli, riguardanti le
funzioni monotone, le funzioni a variazione limitata e le funzioni assolutamente continue.
Infatti necessitiamo del teorema di derivabilità q.o. delle funzioni monotone, che viene qui dimostrato facendo uso del famoso
lemma di Vitali, del Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue, della formula di derivazione di funzioni composte per
funzioni non regolari, di un risultato di validità della formula della catena e di una opportuna formulazione di integrazione per
sostituzione per l'integrale di Lebesgue. Altro risultato utile è la disuguaglianza tra la media aritmetica e la media geometrica.
Nel capitolo finale, forniamo un'applicazione rilevante, quanto naturale, della disuguaglianza di Brunn-Minkowski:
la disuguaglianza isoperimetrica per i corpi convessi. Essa viene dimostrata utilizzando la cosiddetta formula di Steiner e la prima disuguaglianza di Minkowski per i corpi convessi. Mostriamo inoltre che dalla caratterizzazione degli insiemi che danno l'uguaglianza per la disuguaglianza di Brunn-Minkowski, è possibile dimostrare che i corpi convessi che danno l'uguaglianza per la disuguaglianza isoperimetrica sono tutte e sole le palle euclidee.
Abstract
Questa tesi ha come argomento la disuguaglianza di Brunn-Minkowski, risultato fondamentale nella teoria della geometria convessa.
Essa riguarda la relazione esistente tra i volumi di due corpi convessi (insiemi compatti, convessi e non vuoti) e il volume del corpo convesso ottenuto come "combinazione convessa" dei due. Nella tesi presentiamo una delle dimostrazioni che poggia sulla disuguaglianza di Prèkopa-Leindler.
I primi capitoli della tesi sono rivolti alla presentazione, il più possibile dettagliata, dei prerequisiti. La parte più impegnativa
e più tecnica della tesi è costituita dalla preparazione della dimostrazione della disuguaglianza di Prèkopa-Leindler.
Essa si basa su importanti risultati della teoria della misura, la cui trattazione viene sviluppata nei primi capitoli, riguardanti le
funzioni monotone, le funzioni a variazione limitata e le funzioni assolutamente continue.
Infatti necessitiamo del teorema di derivabilità q.o. delle funzioni monotone, che viene qui dimostrato facendo uso del famoso
lemma di Vitali, del Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue, della formula di derivazione di funzioni composte per
funzioni non regolari, di un risultato di validità della formula della catena e di una opportuna formulazione di integrazione per
sostituzione per l'integrale di Lebesgue. Altro risultato utile è la disuguaglianza tra la media aritmetica e la media geometrica.
Nel capitolo finale, forniamo un'applicazione rilevante, quanto naturale, della disuguaglianza di Brunn-Minkowski:
la disuguaglianza isoperimetrica per i corpi convessi. Essa viene dimostrata utilizzando la cosiddetta formula di Steiner e la prima disuguaglianza di Minkowski per i corpi convessi. Mostriamo inoltre che dalla caratterizzazione degli insiemi che danno l'uguaglianza per la disuguaglianza di Brunn-Minkowski, è possibile dimostrare che i corpi convessi che danno l'uguaglianza per la disuguaglianza isoperimetrica sono tutte e sole le palle euclidee.
Tipologia del documento
Tesi di laurea
(Laurea)
Autore della tesi
Giannerini, Davide
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
disuguaglianza di Brunn-Minkowski Prèkopa-Leindler isoperimetrica funzioni assolutamente continue monotone corpi convessi
Data di discussione della Tesi
23 Luglio 2021
URI
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Tipologia del documento
Tesi di laurea
(NON SPECIFICATO)
Autore della tesi
Giannerini, Davide
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
disuguaglianza di Brunn-Minkowski Prèkopa-Leindler isoperimetrica funzioni assolutamente continue monotone corpi convessi
Data di discussione della Tesi
23 Luglio 2021
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