Introduzione agli operatori compatti negli spazi di Banach

In analisi funzionale, un operatore compatto è un operatore lineare e continuo tra spazi di Banach tale che l'immagine di ogni sottoinsieme limitato del dominio ha come immagine un insieme relativamente compatto del codominio, cioè tale che la sua chiusura sia compatta. In questo lavoro di tesi si intendono illustrare i risultati principali relativi alla teoria degli operatori compatti, tra i quali il teorema detto alternativa di Fredholm, le proprietà dello spettro di un operatore compatto, la decomposizione spettrale degli operatori autoaggiunti compatti. Nella parte iniziale della tesi si danno definizioni e risultati preliminari, tra cui alcuni elementi di topologia. Nel primo capitolo vengono definiti gli operatori compatti, viene affrontato il problema della approssimazione di operatori compatti con operatori lineari e continui di rango finito ed esaminato il comportamento della proprietà di compattezza rispetto alla operazione di composizione. Si prosegue con i principali risultati della Teoria di Riesz-Fredholm, tra i quali il fondamentale Teorema di Alternativa di Fredholm. È noto che un operatore lineare da uno spazio vettoriale in sé di dimensione finita è iniettivo se e solo se è suriettivo, cosa in generale falsa quando la dimensione è infinita. Il Teorema dell'Alternativa di Fredholm afferma, tra altre proprietà, che l'operatore che è somma dell'identità e di un operatore compatto gode invece di questa proprietà. Nel secondo capitolo si danno la definizione di insieme risolvente, di spettro e di autovalore di un operatore lineare e si fornisce una descrizione dello spettro di un operatore compatto. Infine, nel terzo capitolo, viene preso in esame il caso particolare di operatori compatti autoaggiunti in uno spazio di Hilbert, se ne studia lo spettro e si mostra che gli autovettori di un operatore compatto da uno spazio di Hilbert separabile in sé costituiscono una base Hilbertiana dello spazio.