Modellazione numerica dell'operatore laplaciano frazionario con applicazioni ai moti quasi-geostrofici superficiali

In questa tesi sono stati sviluppati e implementati algoritmi per l'approssimazione numerica agli elementi finiti di problemi differenziali non locali. In particolare sono state analizzate le classi di moti quasi-geostrofici superficiali modellizzate con operatori non locali. Tali moti avvengono ad alta quota per latitudini abbastanza elevate da rendere non trascurabile l’effetto della forza di Coriolis. L’approssimazione numerica di problemi differenziali classici consiste nella risoluzione di sistemi lineari a matrici sparse ma per i problemi non locali tale approssimazione numerica comporta la risoluzione di sistemi lineari a matrici dense con conseguente aumento del costo computazionale. Nella tesi viene fatta una veloce introduzione dell’approssimazione a elementi finiti partendo dalle basi dell’analisi funzionale per arrivare al metodo d'integrazione numerica di Gauss. Viene, poi, motivata la necessità d'introdurre l’operatore Laplaciano frazionario di Riesz, vengono introdotti gli operatori non locali e viene analizzato un caso semplice di diffusione stazionaria non locale. Tale problema di diffusione viene poi implementato su un codice e validato grazie a test numerici presenti in letteratura. Vengono introdotte le equazioni di bilancio per un fluido, ricavate le equazioni di Navier-Stokes e poi applicate ai moti quasi-geostrofici superficiali. Infine vengono esposti i risultati delle varie simulazioni in funzione di tutti i parametri operativi.