Analisi tempo-frequenza dei segnali: dalla trasformata di Fourier alla trasformata wavelet

L’obiettivo di questa tesi è lo studio dal punto di vista teorico dei principali strumenti matematici per l’analisi tempo-frequenza dei segnali: la trasformata di Fourier, la trasformata di Fourier a tempo breve (STFT) e la trasformata wavelet. Il punto di partenza dello studio è l’analisi di Fourier, di cui vengono presentati i fondamenti e le proprietà. Poiché questo strumento ha il limite di fornire una rappresentazione spettrale di un segnale senza però localizzare nel tempo il suo contenuto in frequenza, si introduce l’analisi tempo-frequenza, proposta da Dennis Gabor nella seconda metà del Novecento come estensione dell’analisi di Fourier. L'analisi tempo-frequenza si basa sull’idea di fare scorrere una finestra di dimensione fissa sul segnale, per analizzare l’evoluzione nel tempo del contenuto spettrale del segnale all'interno della finestra. Successivi studi matematici hanno dato origine all'analisi wavelet, che permette di utilizzare finestre temporali di analisi di dimensione variabile così da sfruttare sia finestre di grande durata, ideali per lo studio delle basse frequenze, sia finestre di breve durata, maggiormente adatte a rilevare le alte frequenze. Nell’affrontare questi argomenti si è scelto di privilegiare gli aspetti teorici e formali alla base di ciascuno di essi, senza tralasciare però le intuizioni che hanno portato al loro sviluppo. Infine, sono stati presentati alcuni esempi di applicazione pratica di questi strumenti e dove necessario ne sono stati esaminati i pregi, i difetti e le limitazioni.