Proprietà di propagazione ondosa di innovativi modelli di diffusione e reazione iperbolici per i fenomeni di aggregazione cellulare in ambito biomedico

In questa tesi presentiamo diversi modelli matematici che interpretano i movimenti di aggregazione cellulare dovuti al fenomeno della chemiotassi, in ambito biomedico. Prendiamo in esame innanzitutto il modello pionieristico parabolico-parabolico di Keller-Segel, ne analizziamo la stabilità lineare, utilizzando il Metodo delle Onde Dispersive, e consideriamo alcuni risultati di decadimento e di blow-up delle soluzioni. Operando una correzione alla Cattaneo sulla prima equazione del modello, introduciamo il modello di Dolak-Hillen e analizziamo il ruolo del tempo di rilassamento sull’insorgenza del collasso chemiotattico, ovvero dell’aggregazione cellulare. Con l’introduzione di una correzione dello stesso tipo anche sulla seconda equazione del modello classico di Keller-Segel, giungiamo alla formulazione del modello iperbolico-iperbolico di Barbera e Valenti. Oltre allo studio delle onde di discontinuità iperboliche tipiche del modello, analizziamo la stabilità lineare degli stati di equilibrio, stazionari e omogenei, che andiamo poi a collegare con soluzioni del tipo Travelling Waves, che fra l’altro giustificano le proprietà di propagazione ondosa dei fenomeni di aggregazione cellulare. Consideriamo l’effetto di una reazione di tipo logistico prendendo spunto da un modello parabolico-ellittico recentemente proposto in letteratura. Sottolineiamo infine l’importanza degli effetti di tipo cross-diffusion nei modelli di diffusione e reazione a più specie interagenti, mettendo in risalto l’importanza dell’analisi delle instabilità di Turing nella ricerca attuale. Infine, tenendo conto anche degli effetti dell’aptotassi, presentiamo dei modelli matematici a tre specie per lo studio dell’invasione di cellule cancerogene del tessuto extracellulare.