Introduzione alla Teoria del Trasporto Ottimale e Dualità di Kantorovich

Russo, Daniele (2020) Introduzione alla Teoria del Trasporto Ottimale e Dualità di Kantorovich. [Laurea], Università di Bologna, Corso di Studio in Matematica [L-DM270], Documento ad accesso riservato.
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Abstract

In questa tesi viene introdotta la teoria del trasporto ottimale a partire dal problema originale di Monge, che consiste nel trovare la strategia ottimale per trasportare una certa quantità di massa da uno scavo a una fortificazione. Si cerca cioè una mappa tra due spazi di probabilità che “trasporta” una misura nell’altra (quest’ultima viene detta quindi misura “push-forward”) e minimizza un funzionale detto “costo”. Dopo alcuni esempi, si introduce il caso discreto, coincidente con un problema di programmazione lineare; successivamente vengono dati alcuni risultati su funzioni semicontinue e spazi polacchi; vengono inoltre introdotte le nozioni di c-convessità e c-ciclica monotonia che permettono di enunciare e dimostrare il risultato principale della tesi: il teorema di Kantorovich, grazie al quale è possibile cercare il minimo del funzionale risolvendo un problema duale. Si danno quindi alcuni cenni di analisi convessa per poi applicare il teorema e costruire una mappa ottimale per una funzione costo quadratica e, in generale, strettamente convessa. Infine, si nota che dalla costruzione della mappa ottimale si può dedurre la cosiddetta decomposizione polare di un campo vettoriale, da cui si ricava una versione non lineare della decomposizione di Helmholtz; come ultima applicazione si risolve un problema di minimo riguardo un modello che descrive la configurazione di equilibrio di un gas utilizzando una misura “push-forward”.

Abstract
Tipologia del documento
Tesi di laurea (Laurea)
Autore della tesi
Russo, Daniele
Relatore della tesi
Scuola
Corso di studio
Ordinamento Cds
DM270
Parole chiave
trasporto ottimale problema Monge teorema Kantorovich misura push-forward analisi convessa c-convessità ciclica monotonia programmazione lineare funzioni semicontinue spazi polacchi decomposizione polare
Data di discussione della Tesi
30 Ottobre 2020
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