Il Teorema di Gelfand-Serganova

Nel primo capitolo tratteremo matroidi come collezione di sottoinsiemi di un dato insieme che soddisfa la Proprietà di Scambio (come in Definizione 1.1), e come vedremo possiamo parlare di questo come il caso ”unidimensionale”. Sotto queste condizioni vedremo altre definizioni equivalenti di matroide. Introdurremo anche i sistemi di radici di tipo A_{n−1} in R^n, e studieremo le riflessioni in R^n e il loro legame con le trasposizioni in S_n. Associando poi ad ogni elemento di una matroide un punto in R^n, mostreremo il Teorema di Gelfand-Serganova, il quale prova che il politopo ottenuto come chiusura convessa di punti di R^n associati ad elementi della matroide ha la proprietà di avere gli spigoli paralleli alle radici di tipo A_{n−1} citate prima. Questo ci permetterà, tramite le riflessioni, di osservare delle interessanti simmetrie di questi politopi. Nel secondo capitolo definiremo invece il caso ”multidimensionale”, ovvero non tratteremo più matroidi come collezione di sottoinsiemi, ma di bandiere, catene di sottoinsiemi ordinate per inclusione. Da qui saremo in grado di capire la struttura ben più complessa di queste cosiddette matroidi a bandiera attraverso il Teorema di Struttura.