Funzioni simmetriche di Jack: una generalizzazione nel superspazio

L'algebra delle funzioni simmetriche a coefficienti in un campo è costituita dalle serie formali in infinite (numerabili) variabili invarianti rispetto ad una qualsiasi permutazione delle variabili. In questa tesi presenteremo l'algebra delle funzioni simmetriche a coefficienti razionali, in particolare studiando quattro basi e un'involuzione abbastanza naturali per tale spazio e introducendo un prodotto scalare. Ci concentreremo poi su una base meno ovvia dello spazio, la base di Schur, caratterizzata dalle proprietà di ortogonalità e unitriangolarità rispetto alla base monomiale con un particolare ordine e che gode di notevoli proprietà combinatorie. Il secondo capitolo sarà dedicato alla generalizzazione delle funzioni di Schur nell'ambiente delle funzioni simmetriche a coefficienti nel campo delle funzioni razionali in un indeterminata alpha a coefficienti razionali, le cosiddette funzioni di Jack, caratterizzate ancora dalle stesse proprietà delle funzioni di Schur; in particolare, il risultato principale proposto sarà proprio l'esistenza e unicità di tale base, dopodichè verranno presentate alcune proprietà delle funzioni di Jack che possono essere viste come generalizzazioni di quelle esibite nel capitolo precedente per le funzioni di Schur. Nel terzo e ultimo capitolo si presenterà un'estensione delle funzioni simmetriche, ovvero le funzioni simmetriche nel superspazio (o superfunzioni simmetriche): serie formali in cui oltre ad infinite variabili commutative compaiono infinite variabili anticommutative che siano invarianti rispetto ad una qualsiasi permutazione delle variabili che agisca simultaneamente sulle variabili commutative e su quelle anticommutative. In particolare, si proporrà prima una generalizzazione nel superspazio di quanto visto per l'algebra delle funzioni simmetriche a coefficienti razionali, dopodiché si fornirà una prima introduzione alle superfunzioni di Jack.